重庆教师招聘《数学学科知识》：函数的概念和性质

【导读】【每日一练】函数的概念和性质。重庆教师招聘考试复习资料2021.11.16。更多教师招考信息，备考干货，辅导课程，时政资料，欢迎关注重庆教师招聘网。

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一、必备基础知识

1、常见函数定义域：

（1）分母不能为零         （2）偶次根号下的数大于等于零

（3）            （4）

（5）

2、抽象函数定义域

求复合函数的定义域的方法：

①若的定义域为，则解不等式得即可求出的定义域；

②若的定义域为，则求出的值域即为的定义域。

3、求函数的值域常见方法：

（1）直接观察法：，，，，等等。

（2）配方法：主要针对二次函数

（3）换元法：将函数中的其中一个量看成一个整体设为，然后要注意的取值范围。

（4）分离常数法：形如等，

（5）数形结合法：主要针对含有绝对值的函数，需要取绝对值讨论。

（6）判别式法：主要针对分子分母含有二次函数类型。

4、函数的单调性

判断函数单调性的常用方法：

（1）定义法（熟练利用定义法证明函数单调性的步骤）.

（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；

一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数.

（3）奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反。

（4）导数法：求导判断

（5）复合函数：记住“同增异减”

熟记以下几个结论：

(1) 与的单调性相同；

（2）与的单调性相反；

（3）与的单调性相反。

4、函数的奇偶性

一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函数．

奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称．

常见偶函数有：，，，等等。

常见奇函数有：x，，，，，，等等。

定义的应用：若函数y=f(x)是偶函数，则；若函数是偶函数，则f(x +a)= f(一x +a).

.

奇偶函数的常见性质：

（1）如果奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0；

（2）如果函数f(x)的定义域不关于原点对称，那么f(x)一定是非奇非偶函数；

（3）如果f(x)既是奇函数又是偶函数，那么f(x)的表达式是f(x)=0.

（4）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（5）在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积都是偶函数；

③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．

判断函数奇偶性的步骤：

（1）首先确定定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

（2）确定f(x)与f(-x)的关系；         

（3）下结论。

5、函数的周期性

（1）周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x +T)= f (x)

，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。

（2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

常见函数周期求法：

（1）若对于R上的任意的都有f(2a-x)= f (x)

或f(一x)= f(2a+x)

，则x=a的图象关于直线R对称．

（2）若对于R上的任意x都有f(2a-x)= f (x)，且f(2b-x)= f(x)

 （其中a<b)，则：y=f(x) 是以2(b-a)为周期的周期函数。

（3）若f(x+a)或或，那么函数是周期函数，其中一个周期为；

（4）若，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为.

6、函数图象变换：

（1）平移变换：熟记口决：左加右减，上加下减。

的图像向左平移个单位得到函数的图像；

的图像向右平移个单位得到函数的图像；

的图像向上（下）平移个单位得到函数的图像。

(2）对称变换：

与的图像关于轴对称；

与的图像关于轴对称；

与的图像关于原点对称。

(3）翻折变换：

①的图像：先画出的图像，然后保留x轴上方部分，并把x 轴下方部分翻折到x轴的上方即可。

②的图像：先画出的图像，然后保留y轴右侧部分，并把 y 轴右侧部分翻折到y轴的左侧即可。

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