数量 | 容斥极值和不定方程的另类缘分

容斥问题在行测考试的数量关系部分属于比较容易拿分的考点，熟练地掌握容斥公式和文氏图，可以解决大部分的容斥问题。然而近年来对于容斥问题的考查，越来越不局限于“套路题”，需要具体问题具体分析的容斥极值问题曝光度越来越高。

所谓容斥极值问题，就是容斥问题+“最多、最少、至多、至少……”之类问法的一类问题，往往要我们求的是某个集合或者集合公共部分的极值。对于仅告知全集元素个数和各个集合元素个数，求各个集合公告交叉部分的极值问题，我们可以直接套用公式解决，除此之外的其他容斥极值问题，我们就要请来不定方程这个外援助我们一臂之力了。

例题精讲

【例1】某单位有72名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名三个班的职工数至多是（   ）

A.6人  B.12人  C.16人  D.20人

【金标尺解析】A。 设同时报名两个班和同时报名三个班的人数分别为x人、y人，根据三者容斥公式：A+B+C-只满足两项-满足三项×2=总数，可得：36+20+28-x-2y=72。化简得，x+2y=12，y=，当x取得最小值0时，y取得最大值6，即同时报名三个班的职工数至多是6人。故本题答案为A项。

【小试牛刀1】某单位有72名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名两个班的职工数至多是（   ）

A.6人  B.12人  C.16人  D.20人

【金标尺解析】B。 设同时报名两个班和同时报名三个班的人数分别为x人、y人，根据三者容斥公式：A+B+C-只满足两项-满足三项×2=总数，可得：36+20+28-x-2y=72。化简得，x+2y=12，x=12-2y，当y取得最小值0时，x取得最大值12，即同时报名两个班的职工数至多是12人。故本题答案为B项。

【小试牛刀2】某单位有72名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，要求每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为36、20、28，则报名超过一个班的职工数至多是（   ）

A.6人  B.12人  C.16人  D.20人

【金标尺解析】B。设同时报名两个班和同时报名三个班的人数分别为x人、y人，则报名超过一个班的职工数为x+y。根据三者容斥公式：A+B+C-只满足两项-满足三项×2=总数，可得：36+20+28-x-2y=72。化简得，x+2y=12，x+y=12-y，当y取得最小值0时，x+y取得最大值12，即报名超过一个班的职工数至多是12人。故本题答案为B项。

经验总结

通过上述题目不难发现，只要最后列出了形如ax+by=c的不定方程，无论是要求x、y还是x+y的极值，最关键的就是要把x、y或x+y用代数式表示出来，然后分析x、y取哪个值时能取得极值。