数量 | 特值法速解不定方程组问题

不定方程问题是近几年考试的热点，因其取材方便，考法灵活深受命题组的喜爱。而大部分的考生因为没有系统全面的学习不定方程的解法，往往被这个“拦路虎”所困扰。

金标尺导师团队就不定方程问题其中的一个考点——不定方程组，跟广大考生朋友做一个探讨，用特值法的技巧快速解决这类问题。

例题精讲

某木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时，如果该木匠加工桌子、凳子和椅子各10张，共需（   ）个小时。

A.47.5     B.50     C.52.5     D.55

【常规解法】C。设加工1张桌子需要x小时，加工一张凳子需要y小时，加工一张椅子需要z小时，根据题意可列方程：①2x+4y=10；②4x+8z=22。接下来方程①×2+方程②得到：8（x+y+z）=42，解得x+y+z=5.25，因此要求的10（x+y+z）=52.5，故本题答案为C项。

相信大家都能看的懂这道题的常规解析，但本题真正的困难是，在考试这种压力环境下，能否快速的观察到系数的特点，从而将方程①与方程②进行变形得到要求的表达式。可能很多考生都不具备这种观察力，或者说需要消耗较多的时间去对比和试错，从而浪费了宝贵的解题时间。那么是否有更快捷的方法解决这类问题呢？

【金标尺解析】C。设加工1张桌子需要x小时，加工一张凳子需要y小时，加工一张椅子需要z小时，根据题意可列方程：①2x+4y=10；②4x+8z=22。令x=0，解得y=2.5，z=2.75，因此x+y+z=5.25，则10（x+y+z）=52.5。故本题答案为C项。

原理分析

我们使用特值法解决这一问题的基本原理是不定方程组理论上有无穷多组解，但是题中所求量10（x+y+z）是一固定数值，即x，y，z的取值不影响最终结果，因此可以将x、y或z中任意一个取特殊值，代入原方程组，从而快速得到一组特解，算出最终结果。

通过两种方法做对比，用特值法解不定方程组问题，可以避免对不定方程组系数的观察与拼凑过程，将复杂问题简单化，更具备实战价值。

总结：

形如：a1x+b1y+c1z=A1

a2x+by2+c2z=A2

求：n（x+y+z）,我们可以对x、y或z中任意一个取特殊值（最好是取0），代入原方程组，从而将不定方程组问题转化为普通方程问题快速求解。