重庆教师招聘《数学学科知识》：微分方程

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微分方程

一、微分方程的基本概念

1.微分方程：含有自变量、未知函数及未知函数的导数的方程称为微分方程。一般写成：

或。

2.常微分方程：未知函数为一元函数的方程称为常微分方程。如：，

。

3.微分方程的阶：方程中未知函数的导数的最高阶数称为方程的阶。如是三阶微分方程。

4.微分方程的解：若将函数代入微分方程，使该函数称为微分方程的解。设在区间I上连续且有直到n阶的导数，使，则称为该微分方程在区间I上的一个解。

5.微分方程的通解：若方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，则这样的解称为方程的通解。

6.初始条件与特解：确定通解中任意常数的条件：，称为初始条件。

若函数满足方程，即将代入方程能使方程成为恒等式，则函数称为方程的一个特解。

二、一阶线性微分方程的解法

（一）可分离变量微分方程

1.定义：形如的方程称为可分离变量的方程。

2.解法：

（1）分离变量；（2）两边积分，即

，两边积分得。

（二）齐次方程

1.定义：形如的一阶方程称为齐次方程。

2.解法：令，则，代入原方程得，于是有。

（三）一阶齐次线性微分方程

1.定义：形如的方程称为一阶齐次线性微分方程。

2.通解公式：。

（四）一阶非齐次线性微分方程

1.定义：形如的一阶方程称为一阶线性方程。

2.通解公式：。

3.推导计算公式：在方程两边同时乘以得

。

两边积分，得，则。

【注】在一阶线性微分方程的通解公式中，若，

则，，代入上述公式中，有

，

令，则有。

其中，D依然为任意常数，故可不加绝对值。

（五）伯努利方程

1.定义：形如（是不为0,1的任意实数）的方程称为伯努利方程。

2.解法：两边同除以，作代换，则伯努利方程转化为新的未知函数的一阶线性方程。

（六）全微分方程

1.定义：设满足，则称为全微分方程。

2.解法：，所以存在二元函数，所以，其中

，于是原方程的通解为。

（七）可降阶的高阶微分方程

1.形如的方程的解法：对方程进行n次不定积分即可求解。

2.形如的方程（缺y型）的解法：

（1）令，则，原方程化为；

（2）解出，原方程的通解为。

3.形如的方程（缺型）的解法：

（1）令，则，原方程化为；

（2）解出或，两边积分得，进而求出原方程的通解。

试题展示

【2020·重庆特岗】求微分方程满足初始条件的特解。

【答案】

【解析】，满足一阶线性微分方程，可得

，因为，所以有，。所以。

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