《数学学科知识》：二重积分的计算——平面直角坐标系

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知识点：二重积分的计算——平面直角坐标系

在直角坐标系中，常用平行于x轴y轴的两组直线来分割积分区域D，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域的边长为和，于是。故在直角坐标系中，面积微元可记为dxdy，即。进而把二重积分记为，这里我们把dxdy称为直角坐标系下的面积微元。

本节介绍的二重积分的计算方法，其基本思想是将二重积分化为两次定积分来计算，转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分。

1. X型积分区域

若积分区域D可以用不等式来表示，其中函数、在区间[a,b]上连续，这样的区域称为X型区域，其区域特征为：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界最多相交与两点，大致的函数图形是由上下两个函数夹击而成的样子（如图）。

一般地，若D是由x=a，x=b，，所围成的X型闭区域，求以D为底，以曲面z=f(x,y)（f(x,y)连续且非负）为顶的曲顶柱体的体积，垂直于x轴，可以过x轴上的任一点x做曲顶柱体的截面，则截面面积是以为底，以z=f(x,y)为顶的曲边梯形，其面积为。

对应的立体体积为

。该积分是先y后x次序的二次积分，也可以记作。

2. Y型积分区域

若积分区域D可以用不等式来表示，其中函数、在区间[c,d]上连续，这样的区域称为Y型区域，其区域特征为：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界最多相交与两点，大致的函数图像是由左右两个函数合抱而成的样子（如图）。

若D是由y=c，y=d，，所围成的Y型闭区域，求以D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积，垂直于y轴，可以过y轴上的任一点y做曲顶柱体的截面，则截面面积是以为底，以z=f(x,y)为顶的曲边梯形，其面积为。

对应的立体体积为

。该积分是先x后y次序的二次积分，也可以记作。

典型例题

【例】计算，其中D是由直线y=1，x=2及y=x所围成的闭区域。

【金标尺解析】本题考查多元函数微积分学——二重积分。

【金标尺答案】

把区域写成X型表达式，

则有，所以

。

把区域写成Y型表达式，

则有，所以。